斜面運動

演示由不同角度（但相同水平距離）斜面滾下的球，誰會先到？跟角度有什麼關係？

三個斜面，角度各為 $30^{\circ}$ 、 $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ 。滑軌由集線條所構成，以電磁鐵開關控制鐵球同時下滑。

1.為什麼路徑長且較陡的60斜面會和路徑短且較平緩的30ﾟ斜面同一時間下滑到地面？

2.為什麼45°斜面會最快下滑到地面呢？

由能量守恆，即位能變化等於動能變化：

$Mgdtan\theta=\frac{1}{2}Mv^{2}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}MR^{2}\times \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} \Rightarrow v^{2}=\frac{10}{7}gdtan\theta$

其中 $M$ 為鐵球質量； $g$ 為重力加速度； $d$ 為水平位移距離； $v$ 為鐵球滾到底部時的末速； $R$ 為鐵球半徑； $\theta$ 為斜面角度。

加速度a： $v^{2}=2a\times \frac{d}{cos\theta }\Rightarrow a=\frac{5}{7}gsin\theta$

下落時間 t： $t=\sqrt{\frac{2S}{a}}=\sqrt{\frac{7\times2\times\frac{d}{cos\theta }}{5gsin\theta }}=\sqrt{\frac{28d}{5gsin2\theta }}$

由此得知當角度 $\theta =45^{\circ}$ 時，鐵球從頂部到底部所花的時間較少；當角度 $\theta$ 分別為 30° 或 $60^{\circ}$ 時，這兩種情況所需的時間相同。

fig21

1.在這個運動過程中是否要考慮摩擦力呢？摩擦力的作用又是什麼？

2.滾動、滑動、摩擦力對本實驗有什麼影響？又以哪種現象在此實驗中較重要？

3.為什麼相同的水平距離下，只要斜面是互餘的角度，鐵球下滑時間就會相等？

1.為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。

2.製作時，水平距離若太短會因為球滾下的時間太短，而導致觀察不易。

3.本實驗專題報告內容如最下面附件。

“Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker

“Sphere rolling down a grooved track “, Am. J. phys., 53, 765(1985) R. A. Bachman

V.1 黃瀧毅

陳泰利、朱慶琪

黃瀧毅、朱慶琪

下載附件：