消失的面積1

消失的面積1

目的

觀察彩色壓克力三角形拼圖,變換排列方式後,討論幾何學上的謬誤。

 

實驗

實驗裝置:四塊不同顏色和不同形狀的壓克力拼圖、正方格背景(方格長寬皆相同)。

1.觀察第一種三角形拼法,數數看三角形的底跟高。

2.移動三角形拼圖,組成同樣的三角形,再數數看三角形的底跟高。

 

原理思考

1.前後兩種拼法的三角形,面積是否相同?

2.消失的面積跑哪裡去了?

 

1.如果我們認定前後兩個三角形,都是直角三角形,那麼三角形的面積為「底乘高除二」,由於兩個三角形的底和高皆相同,所以算出來的面積會是一樣的。但是後來拼的三角形卻少了一塊正方形的面積,顯見這兩個三角形並不一定是直角三角形。

2.這就是我們在幾何學上的犯的謬誤了,我們直覺及視覺的認定這兩個三角形都是直角三角形。事實上,如果們們仔細看紅色跟綠色的三角形拼圖,我們會發現,這兩個直角三角形斜邊的斜率並不相同,所以由這兩個斜邊組合成的斜邊,並不是一條直線,所以我們不能把他們組成的圖形當作直角三角形,意即不能使用「底乘高除二」這樣的公式。我們必須分別算出個別的面積,再相加,成為我們要的總面積。 算出來了嗎?事實上,塗有顏色的拼圖的總面積是相同的。再仔細看,我們就會發現,第一個類直角三角形的斜邊有些「向下凹」,第二個類直角三角形的斜邊有點「向上凸」。這樣你就知道三角形消失的面積跑哪裡去了!
triangle

 

討論

1.三角形有哪些特性?直角三角形又有哪些特性呢?

2.現實世界中,建築師們用哪些方法來確認房屋的角是否為直線呢?

3.日常生活中有哪些斜邊,它們的用處是什麼?

 

關於實驗

可同本網站中的消失的面積2比較。

 

參考資料

Mad Physics: Triangle Brain Twister 

 

製作

蔡昌翰 

 

指導老師

朱慶琪

 

撰稿

蔡昌翰