重力下的最快下降曲線

體驗重力下的最快下降曲線(brachistochrone)

實驗裝置：

製作相同起終點的直線、擺線與其他曲線路徑的鋼珠軌道。

觀察兩球由靜止釋放，經下列路徑的時間比較：(軌道右下方紅點為終點)

1.擺線與直線。

2.擺線與比擺線陡的曲線。

3.由擺線中不同點下降。

1.擺線與直線比較，球似乎走路徑較長且較陡的擺線較快；然而擺線與比擺線更長更陡的曲線比較，球卻也是走擺線較快，為什麼？

2.球由擺線中不同點為起點靜止釋放，為什麼卻會花同樣時間抵達終點？

fig1 (1).jpeg

$t= \int_{0}^{x}\frac{\sqrt{1+\left (y^{'} \right )^{2}}}{\sqrt{2gy}}dx$

$dt= \frac{ds}{v},ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= \sqrt{1+\left ( y^{'}\right )^{2}}dx,y^{'}=v=\sqrt{2gy}$

所花時間由變分法之Euler equation可求得滿足最小時間

$x= a\left ( \theta -sin\theta \right ),y=a\left ( 1-cos\theta \right )$

，及擺線方程式。

又

$ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= a\sqrt{\left ( 1-cos\theta \right )^{2}+sin^{2}\theta }d\theta= a\sqrt{2-2cos\theta }d\theta$

$,y= a\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )$

所花時間

$t= \int_{\theta _{0}}\frac{a\sqrt{2-2cos\theta }}{\sqrt{2ga\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )}}d\theta= \cdots = \pi \sqrt{\frac{a}{g}}$

，即下降時間與起始角 $\theta _{0}$ 無關

1.實驗中球的滾動、滑動、摩擦力對實驗結果有何影響？

2.假設通過擺線上的一點的垂直線與擺線的夾角為α，試算 $sin\alpha$ 與通過該點切線速度 $v$ 的比值。此關係與光在介質中折射角與速度的關係有何關聯？為什麼？

1.為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。

2.伽利略(Galilei)曾在1638年給出一個該曲線為圓弧的誤證。後來白努利家族(Bernoulli)對此問題的探討成為變分學的濫觴。

3.擺的等時性(tautochrone)於1673年由惠更斯(Huygens)所提出。

“變分法上的最速降線之研究" 李柏堅

“Analysis by its history" Hairer & Wanner

v.2 曾助理、張正忠、張惟絮

陳泰利

陳泰利